研究泊松條件下Heston模型的模擬方案

日前，北京大學匯豐商學院長聘副教授Jaehyuk Choi的合作論文“Simulation schemes for the Heston model with Poisson conditioning”（《泊松條件下Heston模型的模擬方案》）在European Journal of Operational Research （EJOR）發表（Volume 314，Issue 1，1 April 2024，Pages 363—376）。論文合作者為香港科技大學（廣州）教授郭宇權。

EJOR由Elsevier科學出版社期刊部發行，主要刊載管理科學、運籌學領域最新前沿理論與實踐研究成果，是英國商學院協會（the Association of Business Schools，簡稱ABS）出版的高質量學術期刊指南（ABS Academic Journal Quality Guide）中認定的ABS四星期刊，最新影響因子為6.4

以美國**金融學家Steven L. Heston命名的Heston模型是一種典型的連續時間隨機波動（SV）模型。該模型假設資產的波動性隨時間演變，遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）過程，而不是保持不變。雖然并非**個SV模型，但由于其解析性質，它在金融學術界和行業中逐漸流行。例如，在該模型下，期權價格由傅里葉逆變換（inverse Fourier transform）表示，相對容易進行評估。

隨著該模型的日益普及，研究人員一直在研究如何模擬遵循Heston模型的資產價格路徑。模擬對定價路徑依賴衍生品至關重要，同時對時間序列分析也很有用。傳統的模擬SV模型的方法是將時間劃分為許多小間隔，并假設參數在間隔期間保持不變，進而模擬每一步。然而，這種時間離散化方法通常會在Heston模型中引起相當大的偏差。Broadie-Kaya通過提出“精確模擬”方法取得了突破，該方法能夠在不將其分成小時間步長的情況下完成任何時間間隔后的價格采樣。盡管精確模擬是準確的，但它需要相當大的計算成本。后來，Glasserman-Kim通過用一系列無限的、容易生成的Gamma隨機變量代替瓶頸步驟，在某種程度上加快了模擬的速度。然而，Broadie-Kaya和Glasserman-Kim兩種方法都必須評估修改后的貝塞爾函數，這在計算上代價高昂。

這篇合作論文為Heston模型的模擬算法作出了貢獻。論文在兩個方向上改進了Glasserman-Kim的Gamma序列方法。論文研究發現，如果CIR過程用泊松隨機變量分解，并且剩余的模擬是基于泊松變量進行條件設定，就可以完全不使用貝塞爾函數，這樣會顯著加快模擬速度。其次，論文采用逆Gamma隨機變量來近似Gamma序列的截斷項，使模擬更準確。通過提高速度和準確性，這篇論文使Heston模型的模擬比以前更加容易。

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